Weder wahr noch falsch

Über die Gültigkeit mathematischer Beiweise und die Aussagekraft mathematischer Vermutungen

In der Mathematik gibt es einige Probleme, die für Schülerinnen und Schüler unmittelbar verständlich sind und deren Konsequenzen für ein wissenschaftliches Weltbild unbedingt diskutierbar sind.

Die berühmte Fermatsche Vermutung
Es gibt Zahlen, die so schöne Gleichungen wie 3² + 4² = 5² erfüllen. Aber es gibt keine Zahlen x, y, z mit denen man x³ + y³ = z³ hinbekommt (ebenso wie für x⁴ usw.). Es hat von der Formulierung dieser Vermutung bis zu einem ersten Beweis über 350 Jahre gedauert. Diesen Beweis, der Hunderte von Seiten umfasst, können aber nur wenige Mathematiker in seiner Gänze verstehen und immer nur in Teilen überprüfen. Wie können wir also sicher sein, dass die sich nicht irren? Ab wann ist ein Beweis gültig? (Einen sehr spannenden Bericht dieses Wissenschaftskrimis gibt der britische Journalist Simon Singh: Fermats letzter Satz - Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels. Carl Hanser Verlag, 1998.)

Die Vierfarbenvermutung
Um eine Landkarte so zu färben, dass benachbarte Länder nie dieselbe Farbe erhalten, genügen vier Farben - so vermutete man seit der Mitte des 19. Jahrhunderts. Es brauchte über hundert Jahre, bis zwei amerikanische Mathematiker 1976 einen Beweis vorlegten. Sie mussten dazu einen Computer hinzuziehen, der mehrere Tausend Stunden rechnete. Wer will das Programm und die Arbeit dieses Computers überprüfen? Gilt der Beweis?

Die Goldbachvermutung
Primzahlzwillinge sind zwei Primzahlen, die im Abstand 2 unmittelbar aufeinander folgen, z.B. 3 und 5, oder 107 und 109. Gibt es davon unendlich viele? Apostolos Doxiadis beschreibt in seinem hinreißenden Roman "Onkel Petros und die Goldbachsche Vermutung", wie diese Frage einen Menschen in den Wahnsinn treibt. Vielleicht handelt es sich um eine Vermutung, die weder wahr noch falsch ist?